代数语义学

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代数语义学是形式语义学的一个分支,是用代数方法研究计算机语言的语义。始于对抽象数据类型的研究,数据类型是计算机语言中的重要组成部分。用代数结构描述数据类型的语法,用公理体系描述数据类型的语义,就形成了完整的抽象数据类型,并出现了研究这种结构的代数语义学。

代数语义学简介

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形式语义学的一个分支,用代数方法研究计算机语言的语义。它把计算机语言形式地定义为满足某种公理体系的抽象代数结构,然后利用这种代数结构的性质来证明用该语言编写的程序的正确性。
代数语义学始于对抽象数据类型的研究。数据类型是计算机语言中的重要组成部分。但在60年代中期以前一直缺少科学的定义。它被认为仅仅是一些数据的集合,这种观点不能反映数据类型的内在数学特性,因而不能用来检验程序的正确性。1967年问世的SIMULA67语言,第一次提出类程的概念,把数据和被允许施行于这些数据之上的运算结合起来,它是现代抽象数据类型的开始,但当时未引起足够重视。70年代初,软件危机促使人们去研究编写和验证正确的程序的理论和技术。在当时出现的一些新语言中,进一步把数据类型的特性与它的具体表示及实现方式分开来,提高了它的抽象程度。在这种思想指导下,用代数结构描述数据类型的语法,用公理体系描述数据类型的语义,就形成了完整的抽象数据类型,并出现了研究这种结构的代数语义学。

代数语义学基调和Σ代数

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S 表示由一组称为类子的元素构成的集合,用O表示由一组运算符构成的集合,则O中每一元素均可表示为: SS2×…×Sk─→Sk+1
其中Si∈S(1≤ik+1),箭头左边是运算的变元,右边是运算的结果。变元可以为空集,此时它是零元运算符。对偶Σ=(S,O)称为基调,它确定数据类型的基本语法结构。
S中的每个类子 Si赋以一个元素集合A捴,给O中的每个k元运算符Oi赋以一个函数fi(x1,x2,…,xk),其中xj∈A捿,1≤jk,fi(x1,x2,…,xk)∈A +1。令A={A捴},F={fi},则对偶ΣA,F={A,F}称为以Σ为基调的一个Σ代数。A捴称为Σ代数的载体。
Σ代数是一种非齐性代数。非齐性代数是比克霍夫和李普森在1970年作为对以前的齐性代数的推广而提出的。在这种代数里,元素集被分成几个互不相交的子集。每个代数运算均以特定的子集为其定义域值域。非齐性代数是代数语义学的主要工具。
例如,为了定义数据类型“整数堆”,需要三种类子:S1=bag,S2=int,S3=bool和四个运算符  empty:  ─→bag
insert: bag×integer ─→bag
remove:  bag×integer ─→bag
element:  bag×integer ─→bool
其中empty是零元运算符,又是载体AS1中的元素。AS1={empty,…},AS2={…,-2,-1,0,1,2,…},={True,False}。AS1中的其他元素通过反复执行上述运算而得。
Σ代数的层次结构
Σ和Σ是两个具有相同基调的Σ代数。如果存在单值映射φ,把A1映为A2,F1映为F2,且对任意的 ɑ1,ɑ2,…,ɑn∈A1及f1∈F1有φ(f1(ɑ1,…,ɑn))=f2(φ(ɑ1),…,φ(ɑn)), 其中f2∈F2,φ(f1)=f2。则称φ为Σ到Σ的一个同态映射, 如果把它看成态射,则对应于同一基调的所有Σ代数构成一个范畴。
如果存在一个Σ代数,表为Σ1,它属于以某个Σ为基调的范畴C,使得对C中的每个Σ代数Σi都存在一个唯一的同态映射φi:Σ1─→Σi,则称Σ1为C中的初始代数。如果存在另一个Σ代数Σ2,使得对C中每个Σj,都存在一个唯一的同态映射φj:Σj─→Σ2,则称Σ2为C 中的终结代数。初始代数和终结代数在同构意义下都是唯一的。
在上面所说的情况下,这两种代数都是存在的。若载体集 A中的任何元素彼此都不等价,即可得初始代数,又称项代数。如果每个类子Si只对应一个元素ɑi,即可得终结代数。

代数语义学语义

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S中的每个类子Si,取一组自由变量Xi与之对应,X={Xi}。设ei(x)表示在函数集F对变量集 X的作用下,所得到的全部属于类子Si的表达式集合,e(x)={ei(x)},则Σ代数Σ称为X上的自由Σ代数。对任意的i和任意的t1,t2∈ei(x),公式t1=t2称为一个公理。令 E为由任意一组无矛盾的公理构成的集合,对偶{Σ,E}称为一个抽象数据类型
E+为E的闭包,E+定义了e(x)上的一个等价关系。此等价关系随赋值X←A而传递给载体集A,引导出A上的一个等价关系。令等价类集为A′,定义对偶{,E+}为,则也是一个Σ代数,称为,的商代数。所有满足公理系统 E+的∑代数构成一个范畴,可以证明商代数 就是这个范畴中的初始代数,它被用来定义抽象数据类型的语义。初始代数只是抽象数据类型(,E+)的一个模型,也有用其他模型,例如终结代数,来定义它的语义的。  程序设计语言的代数语义  把一个程序设计语言看成是抽象数据类型,就可以用代数方法来描述它的语义。具体作法是:使每个语法符号对应S 中的一个类子,每个语法规则对应O 中的一个运算。又使语义关系对应公理系统E。但这样做还有一个困难,即上下文条件难以表达。为此要把同态映射扩充为弱同态,即允许同态映射由部分函数实现。在一定的条件下,弱同态意义下的终结代数是存在的,并等价于程序的最小不动点语义。
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科技 理学